Enplus, si Mika Landreau est là, ça ne risque pas de bouger - page 2 - Topic chaud 20 min et aucun but :-( du 01-11-2008 19:17:39 sur les forums de jeuxvideo.com Jene prends pas beaucoup de risque en disant que dans 10 minutes on sera au même point - Topic 10 minutes toujours aucun but du 26-04-2009 17:11:24 sur les forums de jeuxvideo.com Commetous les appareils électriques, les fours peuvent faire disjoncter ou sauter les plombs. Ce problème vient soit d'une des pièces détachées du four, soit de son système électrique : Surcharge électrique. Résistance du four en panne. Commande électronique défectueuse. LisezLes meilleurs moments de C'Cauet du 1er Octobre de avec un essai gratuit. Lisez des millions de livres et écoutez des livres audio sur le Web, iPad, iPhone et Android. Chaquepremier mercredi du mois, entre mars et novembre, nous vous donnons rendez-vous pour partir à la rencontre d'un site, d'un monument ou d'une personnalité du Grand Villeneuvois. 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Un moment destiné aux enfants de 0 à 4 ans accompagnés par leur(s) parent(s) ! What do we do ? Histoires loufoques ou contes extraordinaires illustrés en anglais – AAucun Moment Du Passe. La solution à ce puzzle est constituéè de 4 lettres et commence par la lettre F. Les solutions pour A AUCUN MOMENT DU PASSE de mots fléchés et mots croisés. Découvrez les bonnes réponses, synonymes et autres types d'aide pour résoudre chaque puzzle. Pourfinir, et ce n’est pas moins important, elle se prend un moment pour méditer. Il suffit de 15 ou 20 minutes. C’est un moment exceptionnel de connexion avec soi-même où l’on peut gérer un peu mieux les pensées et les émotions négatives. De cette manière, elle obtient un peu plus de calme intérieur, de paix et de motivation mdop1L. Sommaire Probabilités Variables aléatoires et lois de probabilité Espérance et variance/écart-type Probabilité conditionnelle Formule des probabilités totales Indépendance Ou/et Epreuve de Bernoulli et loi binômiale Le complémentaire Les arbres Exercices Annales de bac Intérêt des probabilités Introduction Nous allons supposer que tu as déjà lu le chapitre sur les bases des probabilités, nous t’invitons donc à lire cette introdution si tu ne l’as pas encore fait Probabilités Bon après le gros chapitre d’introduction, il serait peut-être temps de parler de probabilité non ? Une probabilté, on peut dire que c’est la chance » que l’on a d’obtenir un événement. Par exemple, si on appelle A l’événement obtenir pile », pA = ½ car on a une chance sur 2 d’avoir pile si la pièce n’est pas truquée bien sûr . Pour une pièce c’est facile, mais parfois c’est beaucoup plus compliqué. Alors comment faire pour calculer une probabilté ? Tout dépend du contexte, parfois on est dans des cas particuliers comme une loi binômiale que l’on verra plus tard, mais on a aussi des situations simples si on prend un dé, tous les événements 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ont la même probabilité d’être tirés. On a alors une formule très sympathique dans ce cas là pour un événement A — Si tous les éléments ont la même probabilité d’être tirés, — Ce qui signifie Si par exemple A = avoir un nombre supérieur ou égal à 3 » , on a alors A = {3 ; 4 ; 5 ; 6}, donc cardA = 4. De plus, = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, donc card = 6. Donc Il y a évidemment d’autres cas dont nous parlerons plus loin, mais la propriété ci-dessus est très souvent utilisée Une chose très importante à retenir une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 !! Si PA = 0, A est un événement IMPOSSIBLE, comme le fait d’obtenir 7 en lançant un dé. Si PA = 1, A est un événement CERTAIN, c’est-à-dire qu’il est obligé d’arriver, comme le fait d’obtenir un nombre positif en lançant un dé par exemple. Du coup, si un jour tu calcules une probabilité et que tu trouves un nombre plus grand que 1, comme 5 ou 12 par exemple,C’EST FORCEMENT FAUX !! Il faut alors revoir le raisonnement pour trouver la faute^^ Variables aléatoires et lois de probabilités Haut de page Une variable aléatoire est une application, qui à une éventualité fait correspondre un nombre généralement, mais tu comprendras mieux au fur et à mesure avec des exemples. Prenons un exemple justement. Supposons que l’on a un dé. On définit la variable aléatoire X ainsi si l’on obtient 1 ou 2, on gagne 2 euros, donc X vaut +2 si l’on obtient 3 ou 4, on ne gagne rien, donc X vaut 0 si l’on obtient 5 ou 6, on perd 3 euros, donc X vaut -3 X correspond ici au gain algébrique. Algébrique » signfie que le gain est négatif quand on perd, et positif quand on gagne. On peut résumer la situation par un tableau valeur du dé 1 ; 2 3 ; 4 5 ; 6 X +2 0 -3 On définit alors une LOI DE PROBABILTE, qui correspond à la probabilité d’obtenir chacune des valeurs de X, donc +2, 0 et -3. Quand on te demande de déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire X il faut donc 1 déterminer toutes les valeurs que peut prendre X, que l’on note x1, x2, x3… 2 Pour chaque valeur, déterminer la probabilité Px1, Px2…que l’on note aussi PX=x1, PX=x2… Ici on est dans le cas ci-dessus où tous les événements 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ont la même probabilité d’être tirés. On a donc De même On peut donc compléter notre tableau valeur du dé { 1 ; 2 } { 3 ; 4 } { 5 ; 6 } X = xi +2 0 -3 p X = xi ⅓ ⅓ ⅓ Et voilà, on a déterminé notre loi de probabilité ! C’est tout simplement la dernière ligne, où on a toutes les probabilités pour chaque valeur de X. Ici c’est un cas partiulier, ce sont toutes les mêmes probabilités ⅓. Une petite remarque au passage pour dire toutes les possibilités de X, on le note comme pour un ensemble, avec des accolades, mais on note X Ici, X = {-3 ; 0 ; +2}. Si possible, remets les valeurs dans l’ordre croissant comme ici, c’est toujours mieux d’écrire {-3 ; 0 ; 2} que {2 ; -3 ; 0} Ce qui est important c’est que tu retiennes la méthode pour déterminer une loi de probabilité déterminer toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable aléatoire, puis la probabilité de chacune de ces valeurs. Une propriété très importante la somme des probabilités pour une variable aléatoire vaut 1 !!!! dans notre exemple c’est bien le cas, puisque ⅓ + ⅓ + ⅓ = 1. Cette propriété a deux utilités tout d’abord pour vérifier si ce que l’on a trouvé est juste. On additionne toutes les probabilités et on voit si ça vaut 1. Attention cependant, ce n’est pas parce que ça vaut 1 que c’est juste, mais si ça ne vaut pas 1, c’est FORCEMENT FAUX !! A ce moment-là il faut chercher où tu as fait une erreur. Deuxième utilisation calculer une probabilité ! Imaginons que X puisse valoir 5, 6 ou 7, et que l’on sait que PX=5 = ½ et PX=7 = ⅓, et que l’on cherche PX = 6. On dit tout simplement PX=5 + PX=6 + PX=7 = 1 Donc PX=6 = 1 – PX=5 – PX=7 = 1/6. Et voilà, on a trouvé PX=6 sans avoir à trouver une autre méthode. L’inconvénient c’est que si on s’est trompé à PX=5 ou PX=7, PX=6 est faux. N’utilise donc cette méthode que si tu es certain des résultats que tu as trouvés avant Il est fondamental que tu t’entraînes avec ces exercices sur les variables aléatoires pour être au point sur la méthode et les calculs à effectuer Espérance et variance/écart-type Haut de page L’espérance, c’est en gros ce qu’on peut ESPERER obtenir EN MOYENNE comme résultat à la fin de l’expérience. Si on reprend l’exemple au dessus avec le dé, l’espérance de X correspond au gain moyen que l’on a en lançant le dé. Il y a bien sûr une formule pour l’espérance de X, que l’on note E[X] Si on a X = {x1 ; x2 ; … xn}, alors Reprenons notre exemple de tout à l’heure X = {-3 ; 0 ; +2}. Alors L’espérance est de -1/3, donc négative, ce qui est logique vu que l’on perd plus d’argent qu’on ne gagne et qu’il y autant de possibilités de perdre, gagner, ou n’avoir rien du tout. Vérifie toujours la cohérence du résultat avec la situation, ça peut t’aider à vérifier si tu t’es trompé ou pas L’espérance de -1/3 signifie que EN MOYENNE, si on joue un très grand nombre de fois, c’est comme si on avait perdu -1/3 d’euros à chaque partie. En plus de l’espérance, on peut calculer la variance de X, notée VX. La formule est la suivante — — Comme tu le vois c’est un peu horrible, mais en fait c’est la même formule qu’au-dessus sauf qu’on remplace xi par xi-E[X]2 Il y a alors une autre formule pour calculer plus facilement la variance On va utiliser cette formule pour calculer la variance de l’exemple ci-dessus Avec la 2ème formule c’est plus rapide, et ce n’est pas si long que ça Remarquons au passage que la variance est toujours positive car c’est une somme de valeurs positives d’après la 1ère formule. La variance en elle-même n’a pas beaucoup d’importance, c’est l’écar-type qui est intéressant. Il est noté prononcer sigma et a tout simplement pour formule L’écart-type représente la dispersion autour de la moyenne. Avec un petit exemple ce sera plus simple On va prendre le dernier contrôle de ta classe. Supposons que la moyenne soit de 12, et que l’écart-type soit de 2. Cela signifie que la majorité des notes sont entre 12-2 et 12+2, donc la plupart des élèves ont entre 10 et 14. La variance n’est pas quelque chose de fondamental en Terminale, tu verras plus souvent l’espérance, donc ne te focalise pas trop sur la variance tu dois être soulagé de ne pas avoir à retenir ces horribles formules A noter que dans le cas où l’on a des lois particulières comme la loi binômiale, il y a une formule toute faite très simple pour l’espérance et la variance, donc pas besoin de longs calculs Quelques exercices sur l’espérance ne feront pas de mal^^ Probabilité conditionnelle Haut de page Une probabilité conditionnelle est une probabilité, à la différence que l’on sait déjà quelque chose. Par exemple, en lançant un dé, on peut chercher la probabilité d’avoir un 4 SACHANT que l’on a obtenu un nombre pair. Tu l’auras compris, il y a un mot fondamental à retenir ici SACHANT. Tout simplement parce que souvent dans les questions il y a ce mot ou un mot qui y ressemble, ce qui t’indique qu’il faut calculer une probabilité conditionnelle Au niveau de la notation, on écrit — et on lit p de A sachant B ». — Cela signifie que l’on cherche la probabilité de l’événement A sachant que l’événement B s’est produit. Dans notre exemple, on cherche la probabilité d’obtenir 4 sachant que l’on a un nombre pair, donc A = obtenir un 4 » , et B = avoir un nombre pair ». Il y a bien sûr une formule pour calculer cette probabilité conditionnelle Reprenons notre exemple A = obtenir un 4 » , et B = avoir un nombre pair ». Pour le dénominateur c’est facile, il y a 3 nombres pairs et 6 nombres au total, donc Au numérateur c’est différent A = obtenir un 4 = { 4 }, et B = obtenir un nombre pair = {2 ; 4 ; 6}, donc A ∩ B = { 4 }. Ainsi On n’a plus qu’à remplacer Et voilà, c’es tout simple Le plus dur est de reconnaître qu’il faut calculer une probabilité conditionnelle et non une probabilité simple, mais là c’est ta lecture de l’énoncé qui sera déterminante car, comme dit plus haut, il y a souvent marqué sachant » dans les questions ! — ATTENTION ! Ne confonds pas le A et B, la probabilité que tu cherches est dans la parenthèse, et l’événement que tu connais est en indice juste après le P N’inverse pas le A et le B ça peut être d’autres lettres bien sûr, c’est une erreur classique^^^ — Formule des probabilités totales Haut de page Cette formule dit la chose suivante Si B1, B2…Bn est une partition de , alors Mais qu’est-ce-qu’une partition de ? Une partition, c’est quand on sépare l’espace en plusieurs parties DISJOINTES, c’est-à-dire qu’elles n’ont pas d’élément commun, et quand on fait l’union de toutes les parties, on doit retrouver . Graphiquement ça donne cela Les différentes parties ne se chevauchent pas, et quand on les prend toutes on a . Ici on a découpé en 5 mais on peut découper en autant de parts qu’on veut. Par exemple, pour le dé, = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} On peut prendre B1 = {1 ; 2 ; 3}, B2 = {4 ; 6}, et B3 = {5} On a bien B1 ∪ B2 ∪ B3 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} = , et tous les Bi n’ont aucun point commun entre eux. B1, B2, B3 est donc bien une partition de . En revanche, B1 = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, B2 = {4 ; 6}, et B3 = {5}, n’est pas une partition de car B1 ∩ B2 = {4} ≠ ∅. Graphiquement, cela correspond à prendre toutes les branches se terminant par A si l’on cherche PA Ici, on cherche PA on voit que l’on peut passer par B1, B2, B3 etc… ou Bn Donc PA = PA ∩ B1 + PA ∩ B2 + PA ∩ B3 + … + PA ∩ Bn On utilisera cela dans les exercices tout à l’heure Indépendance Haut de page Deux événements sont dits indépendants s’ils n’ont pas d’influence l’un sur l’autre. Par exemple, si on lance un dé et qu’on le relance après, le résultat du deuxième lancer ne dépend pas du premier lancer les 2 lancers sont donc indépendants. Il y a alors une formule très importante à retenir Si A et B sont indépendants En revanche, si les 2 événements ne sont pas indépendants, on utilise le fait que — c’est-à-dire Donc, dans le cas général Cette formule est à connaître PAR COEUR !! — — ATTENTION ! On rappelle que les 2 premières formules ne sont pas mathématiquement correctes car on a ajouté des ensembles, alors qu’on ne doit faire que des unions et des intersections. Cependant, ces formules permettent d’expliquer la 3ème formule qui elle est correcte, puisqu’on ajoute et soustrait des PROBABILITES, c’est-à-dire des nombres. — Ou / Et Haut de page Souvent dans les énoncés tu verras les mots et » et ou ». Il faut alors traduire ces mots sous forme mathématiques. En fait c’est très simple le et » correspond à l’intersection, le ou » correspond à l’union ! Exemple on tire une carte dans un jeu de cartes. On cherche la probabilité d’obtenir un trèfle OU un roi. Et bien si on appelle A = obtenir un trèfle » et B = obtenir un roi », cela revient à cherche PA ∪ B !! On utilisel l’union car on avait ou » dans l’énoncé. De plus, OU est souvent associé à une addition, donc + ». On s’en servira tout à l’heure. En revanche, si on cherche la probabilité d’obtenir un trèfle ET un roi, cela revient à calculer PA ∩ B. On utilisel l’intersection car on avait et » dans l’énoncé. Enfin, ET est souvent associé à une multiplication, donc × ». On s’en servira également tout à l’heure. On verra cela plus tard dans les exercices^^ Epreuve de Bernoulli et loi binômiale Haut de page On arrive là à une partie intéressante car on la retrouve souvent dans les exercices. Tout d’abord sache qu’il y a une EPREUVE de Bernoulli et un SCHEMA de Bernoulli, fait attention à bien faire la différence. Commençons par le commencement une EPREUVE de Bernoulli, c’est une épreuve où il y a 2 issues succès, ou échec. A pile ou face, on peut dire que pile est un succès, et face un échec. Lancer une pièce est donc une épreuve de Bernoulli. Avec un dé, on peut dire que obtenir un 5 est un succès, et obtenir un autre chiffre un échec. Dans ce cas-là, un lancer de dé correspond à une épreuve de Bernoulli. Il y a alors 2 paramètres p, qui est la probabilité de succès, et q, qui est la probabilité d’échec. Comme il n’y a que 2 possibilités et que la somme des probabilités vaut 1, on a donc — p + q = 1 c’est-à-dire q = 1 – p — Ainsi, il suffit de donner la valeur de p, et on a automatiquement la valeur de q. Si p = q = 1 – = On peut alors avoir des variables aléatoires que l’on dit distribuées selon des épreuves de Bernoulli. Exemple on lance un dé, la variable aléatoire X vaut 1 si on obtient un 5 succès, et 0 si on obtient un autre chiffre échec. On a bien 2 possibilités pour X 0 ou 1 c’est une épreuve de Bernoulli. Et on a p = PX = 1 = P{5} = 1/6, et q = PX = 0 = P{1;2;3;4;6} = 5/6 On a bien p + q = 1 Mais on peut répéter plusieurs fois de suite cette expérience, n fois de suite c’est ce qu’on appelle un schéma de Bernoulli. Un schéma de Bernoulli, c’est donc quand on fait n fois de suite DE FACON INDEPENDANTE une épreuve de Bernoulli, tout simplement. Une variable aléatoire peut bien sûr suivre un schéma de Bernoulli, et on compte le nombrede succès c’est ce qu’on apelle une loi binômiale. Reprenons l’exemple de tout à l’heure avec le dé 5 = succès, autre chiffre = échec. On lance n fois de suite le dé DE FACON INDEPENDANTE. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de fois que l’on a eu 5 autrement dit le nombre de succès. Et bien X suit une loi binômiale ou un schéma de Bernoulli, c’est pareil, de paramètres n et p. — ATTENTION ! Pour une EPREUVE de Bernoulli il n’y a qu’un paramètre la probabilité de succès p. Mais un SCHEMA de Bernoulli ou loi binômiale, il y a 2 paramètres p, et n, le nombre de fois que l’on répète l’expérience. — Si X suit une loi binômiale de paramètres n et p, on note X compte le nombre de succès, or on fait n expériences. X peut donc valoir 0, 1, 2, 3…n, puisque l’on peut gagner 0 fois, 1 fois, 2 fois… ou n fois. Pour déterminer la loi de probabilité de X, il faut donc calculer PX=0, PX=1, PX=2…PX=n d’après ce qu’on a dit plus haut sur les lois de probabilité. Oui mais si n vaut 1 million… Heureusement il y a une formule toute prête Pour tout k compris entre 0 et n Oulala, qu’est-ce-que c’est que ce truc ? Petite explication on cherche PX=k, c’est-à-dire la probabilité d’obtenir k succès. Il faut d’abord choisir quelles expériences parmi les n vont être des succès, et comme on veut k succès, c’est Ensuite il faut que l’on ait k succès, et la probabilité de succès est p, donc Et enfin, comme il y a k succès et n épreuves, il y a… n-k échecs ! Et comme la probabilité d’échec est q, cela donne On multiplie tout ça, et ça donne Bon un petit exemple ne sera pas de trop je pense Toujours le même exemple, on lance le dé 3 fois de suite donc n = 3, succès = 5, échec = autre chiffre. On a vu que p = 1/6, q = 5/6. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès à l’issue des trois lancers. On cherche la loi de probabilité de X. Il est évident que X suit une loi binômiale car on répète 3 fois DE FACON INDEPENDANTE une épreuve de Bernoulli. X peut valoir 0, 1, 2, ou 3. Il faut donc calculer PX=0, PX=1, PX=2 et PX=3. Pour cela, on applique la formule Et on recommence pour 1, 2, et 3 ! ———— ———— Et bien sûr, quand on additionne tout, on doit trouver 1 La somme des probabilités vaut bien 1, c’est donc cohérent mais ce n’est pas obligatoirement bon^^. Concernant l’espérance et la variance, ça va être très facile Encore le même exemple du dé on avait p = 1/6, et n = 3, donc E[X] = 3 × 1/6 = ½, tout simplement ! — ATTENTION !!! Tu as remarqué que l’on a accentué sur le fait que les événements devaient être INDEPENDANTS pour que l’on puisse avoir une loi binômiale. Généralement il n’y a pas de piège à ce niveau là, mais il faut absolument que tu justifies ! En effet, parfois tu dois prouver que c’est une loi binômiale. Il faut alors que tu dises comme on répète n fois une épreuve de Bernoulli et que les événements sont INDEPENDATNS, X suit une loi binômiale ». N’oublie pas ce petit détail, car ainsi le correcteur verra que tu as bien compris le cours — Avant d’entamer des exercices sur les lois binômiales, il convient de parler du complémentaire, car des questions à ce sujet reviennent souvent quand il y a des lois binômiales^^. Complémentaire Haut de page Nous avons parlé dans le chapitre introduction » du complémentaire nous allons voir ici comment l’utiliser. — Tout d’abord ATTENTION ! Le contraire ou complémentaire de ≥ est !!! Ce qu’il faut retenir, c’est que quand il y a le égal » dans un signe, obligatoirement il n’est pas dans l’autre !! — Exemple pour un dé, on peut prendre A = les chiffres supérieur ou égal à 3 » . Donc A = {3 ; 4 ; 5 ; 6} Le complémentaire de A est les chiffres STRICTEMENT inférieurs à 3 », donc {1 ; 2}. Ce qui est logique puisque A = {3 ; 4 ; 5 ; 6}. Il y a alors une formule très importante à retenir Ainsi — PX ≥ k = 1 – PX k = 1 – PX ≤ k PX ≤ k = 1 – PX > k PX < k = 1 – PX ≥ k — L’utilisation la plus fréquente du complémentaire est la suivante On lance 30 fois une pièce pile = succès, face = échec. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de pile donc le nombre de succès X suit donc une loi binômiale. On cherche la probabilité de gagner AU MOINS 1 partie. C’est-à-dire PX ≥ 1. On applique alors ce que l’on a appris juste avant PX ≥ 1 = 1 – PX < 1 Or X vaut 0, 1, 2…30, donc si X < 1, X = 0 !!!! Ainsi PX ≥ 1 = 1 – PX < 1 = 1 – PX = 0 Et pour calculer PX = 0, ici c’est une loi binômiale donc on applique la formule que l’on a apprise tout à l’heure, mais bien sûr cela marche avec toutes les lois et pas seulemennt avec la binômiale Ce qu’il faut retenir quand il y a AU MOINS dans la question, on passe forcément par le complémentaire ! De plus, au moins K veut dire ≥ K, donc le complémentaire est < K. Tu vois maintenant l’intérêt du complémentaire pour les lois binômiales, et il y a justement des questions à ce propos dans ces exercices sur la loi binômiale. Les arbres Haut de page Dans presque tous les exercices de probabilité, il est essentiel de faire un arbre ! Tout simplement parce qu’ils permettent de résoudre certaines questions immédiatement !! En faire un au début de l’exercice et le compléter au fur et à mesure n’est donc pas une perte de temps, au contraire Mais comment faire un arbre ? Il faut toujours partir d’un point central, qui se divise après en branches. Chaque branche se redivisant après en d’autres branches, etc… A chaque fois, il y a autant de branches que de possibilités différentes. Avec un exemple ce sera plus simple^^ On a 4 boules blanches et 5 boules vertes dans une urne, et on tire 3 fois AVEC REMISE une boule on remet dans l’urne la boule qu’on a tirée On note B l’événement tirer une boule Blanche » et V l’événement tirer une boule Verte ». Au 1er tirage, on a 2 choix V et B soit on tire une boule blanche, soit on tire une boule verte Au 2ème tirage, on a aussi 2 choix A CHAQUE FOIS il y a donc 2 branches qui partent de V, et 2 qui partent de B. Et enfin pour le 3ème tirage, on a de nouveau 2 choix à chaque fois Et voilà on a notre arbre tout joli . Il ne reste plus qu’à décorer les branches comme un sapin de Noël compléter les branches avec les probabilités de chaque événement. Ici c’est simple il y a 9 boules en tout, 4 blanches et 5 vertes, et ce pour chaque tirage puisque c’est AVEC remise. La probabilité de tirer une boule blanche est donc de 4/9 et une verte de 5/9 Il faut alors mettre cette probabilté sur chaque branche correspondante Bon c’est sûr c’est un peu surchargé^^ Mais pour certaines questions c’est beaucoup plus simple ! — Remarque importante !! A chaque fois qu’une branche se redivise en d’autre branches, la somme des probabilités des branches doit valoir 1 !! Exemple Il y a 2 choses à remarquer ici Tout d’abord on vérifie que la somme des probabilités en rouge vaut bien 1 1/8 + 2/8 + 5/8 = 1 il n’y a pas de souci. Si on n’avait pas trouvé 1, c’est qu’il y aurait eu une erreur. Cela permet donc de vérifier qu’on ne s’est pas trompé mais ce n’est par parce qu’on trouve 1 que c’est forcément vrai…. Ensuite, si on veut calculer la probabilité marquée d’un point d’interrogation, on utilise le fait que la somme des probabilités en vert vaut 1 !! Appelons x cette probabilité, on a 1/9 + x + 3/9 = 1 x = 1 – 1/9 – 3/9 = 5/9 Et voilà, on a trouvé la probabilité inconnue grâce au fait que la somme des probabilités vaut 1. Avec l’arbre c’est tout de suite visible, d’où l’intérêt d’en faire Prends donc l’habitude de vérifier que la somme des probabiltiés sur une branche qui se divise vaut 1, et pense à utiliser cette propriété pour calculer certaines probabilités que tu ne connais pas. — Mais il y a également d’autres manières de calculer simplement certaines probabilités avec les arbres ! Imaginons que l’on cherche la probabilité que la deuxième boule soit blanche. On prend alors tous les chemins qui ont B en 2ème position, coloriés en rouge sur le schéma Il faut alors ADDITIONNER les différents chemins car c’est OU, on ne peut pas prendre 2 chemins en même temps, et tu te souviens que le OU correspond au + ». Pour chaque chemin, on MULTIPLIE les différentes branches rencontrées car c’est ET, on prend la 1ère branche, ET la 2ème, ET la 3ème, et tu te souviens que le ET correspond au × ». Le chemin B-B-B a donc pour probabilité Le chemin B-B-V a pour probabilité Et de même pour les 2 autres chemins. Il ne reste plus qu’à additionner ces chemins. Si on appelle A l’événement obtenir une boule blanche en 2ème position, on a alors Il y a bien sûr plein d’autres arbres différents, on en avait fait un autre dans le chapitre précédent, tu peux toujours retourner le voir. Mais le mieux est encore de regarder ces exercices sur la construction d’arbres ! En plus ce sont des exercices tirés d’annales du bac !! Exercices Haut de page Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les probabilités ! Annales de bac Haut de page Pour être au top avec les probabilités, fais ces annales de bac afin de voir si tu as bien tout compris ! Intérêt des probabilités Les probabilités sont une des grandes parties des mathématiques, avec l’algèbre et l’analyse. Elles sont très utilisées dans le domaine du jeu, comme les casinos ou les paris sportifs. Elles ont bien sûr d’autres applications dans le domaine industriel notamment pour évaluer les risques de panne, ou le domaine climatique pour mesurer les risques de catastrophes naturelles. La loi exponentielle voir le chapitre sur les probabilités à densité sert en particulier à modéliser des phénomènes de file d’attente, pour les transports en commun par exemple. On s’en sert également pour les feux rouges, afin de savoir comment les régler pour que le trafic soit le plus fluide possible en fonction du nombre de voitures, etc… Les probabilités sont reliées aux statistiques, très utilisées dans le domaine politique avec les sondages par exemple. Le principal intérêt des probabilités est de pouvoir donner des mesures sur des grandeurs incertaines. En effet, une probabilité reste une probabilité, ce n’est pas une valeur exacte qui reflète forcément ce qui va se passer si on lance une pièce, on ne va tomber une fois sur deux sur pile ou face. Néanmoins les probabilités permettent de donner des valeurs assez précises des phénomènes observés. En statistiques, on fait parfois des estimations, qui permettent de donner des valeurs sur des grandeurs dont il est difficile de donner des valeurs précises. Retour au sommaire des coursRemonter en haut de la page Thomas Meunier a offert la victoire au PSG 2-1 ce mardi soir en inscrivant une somptueuse demi-volée de l'extérieur du pied droit en pleine lucarne à la toute dernière minute de la rencontre face au FC Bâle comptant pour la 4ème journée de la phase de groupes de la Champions League. Un souvenir qui restera à jamais gravé dans la mémoire du Diable Rouge qui permet aux Parisiens, grâce à ce geste de grande classe, de se qualifier pour les 8èmes de finale de la C1. "Mon premier but en Champions League restera un très grand moment", a expliqué l'international belge arrivé cet été à Paris. "Je reçois une excellente passe d'Adrien Rabiot qui me voit esseulé dans les 18 mètres. Je décide de frapper, soit ça va dans les tribunes soit dans le but, c'est tout ou rien", a-t-il ajouté devant la presse. "Je suis satisfait pour moi et pour le groupe. On méritait les trois points face à Bâle et la qualification. Maintenant, on va aller à Arsenal pour jouer la première place et pour montrer qu'il faudra compter sur nous pour la suite", a ajouté l'ancien joueur du Club Bruges. Le cinéma se sert de nombreux termes qui lui sont propres et il est facile de s’y perdre, de les confondre, de ne pas les comprendre. Ci-dessous, découvrez 57 de ceux qui sont les plus utilisés et améliorez ainsi votre vocabulaire cinématographique. Vocabulaire du cinéma 57 termes expliqués 1 Accéléré effet qui permet de voir une action en un temps moins long que sa durée réelle. 2 Angle de prise de vue angle formé dans un plan vertical par le sol et l’axe optique de l’appareil, ou encore ouverture entre les limites latérales du champ. 3 Arrière-plan décor qui se trouve derrière l’action ou les comédiens. 4 Back-light éclairage à contre-jour. 5 Bout-à-bout encore appelé ours », le bout-à-bout est un montage sommaire des plans dans l’ordre du scénario ou du découpage technique, et ce sans retouches ou raccords. 6 Bruitage c’est la création des sons qui seront ajoutés aux images composant le film. Il se fait en post-production. 7 Cadrage résultat de l’action de cadrer, faire le cadre ; et le cadre, c’est ce que voit le cadreur dans l’œilleton, le viseur de sa caméra. Le cadrage correspond au choix des limites de l’image angle de prise de vue, échelle des plans, etc. 8 Champ c’est tout ce qui sera visible à l’écran, tout ce qui entre dans le cadre lors de l’enregistrement. 9 Clap ardoise dont on claque la partie supérieure amovible sur la partie inférieure afin d’indiquer le début de l’enregistrement aux différentes personnes intervenant sur un tournage. Il permet également la synchronisation des bande-image et bande-son tirées des rushes. 10 Continuité dialoguée version du scénario qui contient l’ensemble des dialogues et scènes du film. 11 Contraste rapport entre les parties les plus sombres et les plus claires d’une image. 12 Contre-champ prise de vue faite dans le sens opposé à celui du plan précédent. 13 Contre-plongée prise faite avec un angle au-dessous d’un personnage ou d’un objet. Pour être terre-à-terre, disons qu’ici, la caméra regarde » de bas en haut. 14 Coupe encore appelée Cut, la coupe est un changement de plan qui marque une rupture dans la continuité d’un film. 15 Court-métrage en France, selon le Centre National de la Cinématographie, le court métrage est un film dont le métrage ne dépasse pas 1600 mètres au format 35 mm. Autrement dit, il s’agit d’un film dont la durée est inférieure à 59 minutes. 16 Découpage technique ici, le réalisateur auteur du script ou non décrit, pour chaque séquence, les différents plans à tourner, leur numéro, les musiques, la position et les mouvements de caméra, etc. Notez que le découpage technique est la dernière étape du scénario. Il survient après la continuité dialoguée. 17 Dépouillement ici, on prend chaque scène du film. Puis, on note les détails et informations s’y rapportant décors, accessoires, acteurs, figurants, etc. 18 Effets spéciaux trucages généralement réalisés en studio destinés à modifier une image dans le but de créer un effet spectaculaire, fantastique ou tout simplement ultra-réaliste. 19 Équipe technique elle est constituée par toutes les personnes intervenant dans la fabrication d’un film. 20 Étalonnage effectué en post-production, l’étalonnage consiste à appliquer à un film des filtres dans le but d’en améliorer le rendu visuel, de créer des ambiances, de rendre les images plus esthétiques, et d’harmoniser la luminosité et les couleurs. 21 Figurant personne que l’on voit dans une scène de film, mais qui n’a aucun dialogue à dire. 22 Flash-back séquence d’un film qui interrompt l’action en cours et relate des évènements la précédant. 23 Flash-forward il s’agit d’une séquence d’un film qui interrompt, elle aussi, l’action en cours. Mais contrairement au flash-back qui relate les évènements précédant l’action en cours, le flash-forward raconte des évènements qui lui sont postérieurs, des évènements du futur. 24 Focale distance entre le centre optique de l’objectif et la lentille. C’est elle qui déterminera la taille des objets à l’écran. 25 Générique il se trouve en début et/ou en fin de film. Il présente Une liste des personnes acteurs, producteurs, etc qui ont participé à la conception du filmUne liste de remerciements à tous les partenaires du filmLes titres musicaux utilisés dans le film 26 Girafe il s’agit d’une perche qui repose sur un support à roues. On y fixe un micro afin d’enregistrer le son lors de la prise de vue. 27 Gros plan le gros plan coupe un personnage au niveau des épaules ou juste au-dessus. De cette façon, on isole le visage du personnage et on met en avant son regard. 28 Grue ou louma cet appareil permet d’enregistrer des prises de vue depuis une certaine hauteur tout en conservant la mobilité de la caméra ainsi que sa capacité à faire des mouvements complexes. 29 Hors champ il comprend tout éléments de décor, personnages, etc ce qui est situé en dehors du champ de la caméra. 30 Mixage mixer, c’est mélanger et doser les bandes musique », bruits », et paroles » de façon à réaliser la bande son définitive du film. Bien évidemment, le mixage ne se fait qu’après le montage vidéo. 31 Montage le montage consiste à assembler et à raccorder, dans l’ordre prévu par le découpage, les différents plans choisis parmi ceux obtenus lors des prises de vue. 32 Nuit américaine système de prises de vue qui utilise des filtres pour tourner des scènes de nuit en plein jour. 33 Objectif système optique de prise de vues conçu à partir de lentilles optiques. Il permet de donner une image objective » de l’objet filmé ou photographié. 34 Perche support long, en forme de bâton au bout duquel on fixe un micro et qu’on tient au-dessus des acteurs. Grâce à lui, on peut enregistrer les sons sans faire des ombres ou entrer dans le cadre. 35 Plan morceau de film entre deux raccords. 36 Plan séquence séquence tournée en un seul plan sans arrêt de la caméra et restituée telle qu’elle a été filmée, c’est-à-dire sans aucun montage, fondu ou champ-contrechamp, etc. 37 Plateau lieu où les acteurs et l’équipe technique se rassemblent pour tourner les prises de vue. Mais en studio, le plateau désigne le lieu où l’on fabriquera les décors dans lesquels les séquences seront enregistrées. 38 Plongée si la contre-plongée consiste à effectuer une prise avec un angle au-dessous d’un objet ou d’un personnage, la plongée, elle, consiste à faire exactement le contraire effectuer cette prise avec un angle au-dessus du personnage. Donc, ici, la caméra regarde » de haut en bas. 39 Postproduction ensemble des opérations qui viennent après le tournage 40 Postsynchronisation opération qui consiste à enregistrer les dialogues et bruitages du film après le tournage. 41 Prise enregistrement d’un plan pendant un tournage. 42 Production à la fois le processus de fabricaiton d’un film qui regroupe plusieurs étape, donc l’étape production, pendant laquelle sont réalisées les prises de vues et prises de son directes. 43 Raccord terme utilisé pour l’enchaînement de deux plans. 44 Repérages travail qui consiste à rechercher et identifier les lieux de tournage adéquats, puis à les étudier pour déterminer ou poser la caméra et comment tourner les plans souhaités. 45 Répétition ici, les acteurs répètent leurs scènes et dialogues sous la supervision du réalisateur qui leur donne des conseils et les coache » afin d’obtenir le meilleur résultat possible lors du tournage. 46 Rushes vidéos et sons bruts tels qu’ils ont été enregistrés lors du tournage. 47 Scénario version écrite d’un projet de film contenant les scènes et dialogues dudit film 48 Scène ensemble de plans qui se suivent tout en étant liés par une unité dramatique ou se déroulant dans un même lieu. 49 Sens de lecture chemin suivi par les yeux pour lire une image. 50 Séquence succession de scènes qui présentent chacune une unité de lieu, mais qui sont liées par le même temps, et qui sont découpées en plans. 51 Son direct opération qui consiste à enregistrer les bruitages pendant les prises de vues, lors du tournage. C’est l’opposé de la postsynchronisation. 52 Story-board encore appelé scénarimage c’est une bande dessinée, un ensemble de croquis » du scénario. On y trouve l’ensemble des plans, des mouvements de caméra et indications but est de fournir une idée claire et précise des plans prévus au tournage, et de vérifier leur liaison l’un après l’autre. 53 Studios endroits consacrés au tournage des films et dans lesquels on monte des décors artificiels. 54 Tournage ensemble d’opérations de prise de sons et de prise de vues utilisées dans la production d’un film. 55 Travelling c’est tout déplacement lors des prises de vues de caméra installée sur un chariot de travelling ou tout autre support mobile grue, véhicule, avion, etc. 56 Très gros plan plan très serré d’une partie du corps exemple d’un doigt, d’une cicatrice qui prendra toute la surface de l’écran. 57 Zoom effet qui, sans nécessiter un déplacement de la caméra, crée une impression de mouvement de la caméra vers l’avant ou l’arrière. Cet effet est obtenu en manipulant la focale de l’objectif lors de la prise de vue. Voilà, maintenant que vous avez découvert ces termes, vous avez peut-être amélioré votre vocabulaire cinématographique ? Vous avez peut-être des choses à ajouter à cette liste ? Si oui, servez-vous de la zone réservée ci-dessous aux commentaires. 🙂